傅里叶-莫茨金消元法

引入

傅里叶 - 莫茨金消元法(原名 Fourier-Motzkin Elimination,简称 FME 算法)是一种用于从线性不等式中消除变量的数学方法。

它的命名源自于在 1827 年和 1936 年独立发现该算法的 Joseph Fourier 和 Theodore Motzkin 的姓氏。

过程

从线性不等式中消除一组变量,是指通过将关系式中的若干个元素有限次地变换,消去其中的某些元素,从而解决问题的一种方法。

如果线性不等式中的所有变量都被消除,那么我们会得到一个常不等式。因为当且仅当原不等式有解时,消元后的不等式才为真,消除所有变量可用于检测不等式系统是否有解。

考虑一个含 个不等式的系统 ,有从 个变量,其中 为要消除的变量。根据 系数的符号(正、负或空), 中的线性不等式可以分为三类:

  1. 形式为 的不等式,对于范围从 为这种不等式的数量)的 ,用 表示;
  2. 形式为 的不等式,对于范围从 为这种不等式的数量)的 ,用 表示;
  3. 不包含 的不等式,设它们构成的不等式组为

因此原系统等价于

消元包括产生一个等价于 的系统。显然,这个公式等价于

不等式

等价于对于 ,所有 个不等式 构成的不等式组。

因此,我们将原系统 转换为另一个消掉 的系统,这个系统有 个不等式。特别地,如果 ,那么新系统不等式的个数为

例题

考虑以下不等式系统:

为了消除 ,我们可以根据 改写不等式:

这样我们得到两个 不等式和两个 不等式;如果每个 不等式的右侧至少是每个 不等式的右侧,则系统有一个解。我们有 这样的组合:

现在我们有了一个新的少了一个变量不等式系统。

时间复杂度

个不等式上消元可以最多得到 个不等式,因此连续运行 步可以得到最多 的双指数复杂度。这是由于算法产生了许多不必要的约束(其他约束隐含的约束)。必要约束的数量以单一指数增长。

可以使用线性规划 (Linear Programming, LP) 检测不必要的约束。

应用

信息论的可实现性证明保证了存在性能良好的编码方案的条件。这些条件通常使用线性不等式系统描述。系统的变量包括传输速率和附加辅助速率。通常,人们旨在仅根据问题的参数(即传输速率)来描述通信的基本限制,因此述辅助率需要消除上。而我们正是通过傅立叶 - 莫茨金消元法来做到这一点的。

实现

在编程语言中,Racket,一种基于 Lisp 的多范式编程语言在 fme - Fourier-Motzkin Elimination for Integer Systems) 中对 FME 算法做了简单函数代数实现。

参考资料与拓展阅读