Eulerian Number

注意

下文中的欧拉数特指 Eulerian number。注意与 Euler number，以及 Euler's number（指与欧拉相关的数学常数例如 $γ$ 或 $e$ ）作区分。

在计算组合中，欧拉数（Eulerian Number）是从 $1$ 到 $n$ 中正好满足 $m$ 个元素大于前一个元素（具有 $m$ 个「上升」的排列）条件的排列个数。定义为：

A (n, m) = ⟨ \begin{matrix} n \\ m - 1 \end{matrix} ⟩

例如，从数字 $1$ 到 $3$ 一共有 $4$ 种排列使得恰好有一个元素比前一个元素大：

排列	满足条件的相邻元素	个数
1 2 3	1, 2 & 2, 3	2
1 3 2	1, 3	1
2 1 3	1, 3	1
2 3 1	2, 3	1
3 1 2	1, 2	1
3 2 1		0

所以按照 $A (n, m)$ 定义：如果 $n$ 等于 $3$ ， $m$ 等于 $1$ ，欧拉数值为 $4$ ，表示共有 $4$ 个有 $1$ 个元素大于前一个元素的排列。

对于 $n$ 和 $m$ 值比较小的欧拉数来说，我们可以直接得到结果：

$A (n, m)$	满足要求的排列	个数
$A (1, 0)$	$(1)$	1
$A (2, 0)$	$(2, 1)$	1
$A (2, 1)$	$(1, 2)$	1
$A (3, 0)$	$(3, 2, 1)$	1
$A (3, 1)$	$(1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)$	4
$A (3, 2)$	$(1, 2, 3)$	1

公式

可以通过递推或者递归的方法计算欧拉数。

首先，当 $m \geq n$ 或 $n = 0$ 时，没有满足条件的排列，即此时欧拉数为 $0$ 。

其次，当 $m = 0$ 时，只有降序的排列满足条件，即此时欧拉数为 $1$ 。

最后，考虑在 $n - 1$ 的排列的基础上插入 $n$ 从而得到 $n$ 的排列，由于插入 $n$ 至多使欧拉数增加 $1$ ，所以 $A (n, m)$ 可以仅从 $A (n - 1, m - 1)$ 处和 $A (n - 1, m)$ 处转移得到。

考虑 $n$ 插入的位置：当 $p_{i - 1} < p_{i}$ 时，若将 $n$ 插到 $p_{i}$ 之前，即将 $n$ 插入到「上升」中，排列的欧拉数不变；此外，将 $n$ 插在排列之前，排列的欧拉数也不变；否则，若将 $n$ 插到其余位置，排列的欧拉数增加 $1$ 。

考虑从 $A (n - 1, m - 1)$ 转移到 $A (n, m)$ ，此时需要使欧拉数增加 $1$ ，此时不能将 $n$ 插在「上升」中或者排列开头，共有 $n - (m - 1) - 1 = n - m$ 种方案。

考虑从 $A (n - 1, m)$ 转移到 $A (n, m)$ ，此时需要欧拉数保持不变，只能将 $n$ 插在「上升」中或者排列开头，共 $m + 1$ 种方案。

综上所述，有

A (n, m) = {\begin{cases} 0, & m > n or n = 0, \\ 1, & m = 0, \\ (n - m) \cdot A (n - 1, m - 1) + (m + 1) \cdot A (n - 1, m), & otherwise . \end{cases}

实现

C++Python

int eulerianNumber(int n, int m) {
  if (m >= n || n == 0) return 0;
  if (m == 0) return 1;
  return (((n - m) * eulerianNumber(n - 1, m - 1)) +
          ((m + 1) * eulerianNumber(n - 1, m)));
}

def eulerianNumber(n, m):
    if m >= n or n == 0:
        return 0
    if m == 0:
        return 1
    return ((n - m) * eulerianNumber(n - 1, m - 1)) + (
        (m + 1) * eulerianNumber(n - 1, m)
    )

习题

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