贝尔数

贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔命名,是组合数学中的一组整数数列,开首是 (OEIS A000110):

是基数为 的集合的划分方法的数目。集合 的一个划分是定义为 的两两不相交的非空子集的族,它们的并是 。例如 因为 3 个元素的集合 有 5 种不同的划分方法:

是 1 因为空集正好有 1 种划分方法。

公式

贝尔数适合递推公式:

证明:

是含有 个元素集合的划分个数,设 的集合为 的集合为 ,那么可以认为 是有 增添了一个 而产生的,考虑元素

假如它被单独分到一类,那么还剩下 个元素,这种情况下划分数为 ;

假如它和某 1 个元素分到一类,那么还剩下 个元素,这种情况下划分数为

假如它和某 2 个元素分到一类,那么还剩下 个元素,这种情况下划分数为

以此类推就得到了上面的公式。

每个贝尔数都是相应的第二类 斯特林数 的和。 因为第二类斯特林数是把基数为 的集合划分为正好 个非空集的方法数目。

贝尔三角形

用以下方法构造一个三角矩阵(形式类似杨辉三角形):

  • 第一行第一项为 1
  • 对于 ,第 行第一项等于第 行的第
  • 对于 ,第 行的第 项等于它左边和左上角两个数之和

部分结果如下:

每行的首项是贝尔数。可以利用这个三角形来递推求出 Bell 数。

参考实现
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// C++ Version
const int maxn = 2000 + 5;
int bell[maxn][maxn];

void f(int n) {
  bell[1][1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    bell[i][1] = bell[i - 1][i - 1];
    for (int j = 2; j <= i; j++)
      bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1];
  }
}
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# Python Version
maxn = 2000 + 5
bell = [[0 for i in range(maxn)] for j in range(maxn)]
def f(n):
    bell[1][1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        bell[i][1] = bell[i - 1][i - 1]
        for j in range(2, i + 1):
            bell[i][j] = bell[i - 1][j - 1] + bell[i][j - 1]

参考文献

https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number