Berlekamp-Massey 算法

Berlekamp-Massey 算法是一种用于求数列的最短递推式的算法。给定一个长为 的数列,如果它的最短递推式的阶数为 ,则 Berlekamp-Massey 算法能够在 时间内求出数列的每个前缀的最短递推式。最坏情况下 ,因此算法的最坏复杂度为

定义

定义一个数列 的递推式为满足下式的序列

其中 称为该递推式的 阶数

数列 的最短递推式即为阶数最小的递推式。

做法

与上面定义的稍有不同,这里定义一个新的递推系数 ,满足:

容易看出 ,并且阶数 与之前的定义是相同的。

我们可以增量地求递推式,按顺序考虑 的每一位,并在递推结果出现错误时对递推系数 进行调整。方便起见,以下将前 位的最短递推式记为

显然初始时有 。假设递推系数 对数列 的前 项均成立,这时对第 项就有两种情况:

  1. 递推系数对 也成立,这时不需要进行任何调整,直接令 即可。
  2. 递推系数对 不成立,这时需要对 进行调整,得到新的

,即 的递推结果的差值。

如果这是第一次对递推系数进行修改,则说明 是序列中的第一个非零项。这时直接令 即可,显然这是一个合法的最短递推式。

否则设上一次对递推系数进行修改时,已考虑的 的项数为 。如果存在一个序列 ,满足:

并且 ,那么不难发现将 按位分别相加之后即可得到一个合法的递推系数

考虑如何构造 。一种可行的构造方案是令

其中前面一共有 ,且最后的 表示将 每项乘以 后接在序列后面。

不难验证此时 ,因此这样构造出的是一个合法的 。将 赋值为 逐项相加后的结果即可。

如果要求的是符合最开始定义的递推式 ,则将 全部取相反数后在最开始插入 即可。

从上述算法流程中可以看出,如果数列的最短递推式的阶数为 ,则算法的复杂度为 。最坏情况下 ,因此算法的最坏复杂度为

在实现算法时,由于每次调整递推系数时都只需要用到上次调整时的递推系数 ,因此如果只需要求整个数列的最短递推式,可以只存储当前递推系数和上次调整时的递推系数,空间复杂度为

参考实现
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vector<int> berlekamp_massey(const vector<int> &a) {
  vector<int> v, last;  // v is the answer, 0-based, p is the module
  int k = -1, delta = 0;

  for (int i = 0; i < (int)a.size(); i++) {
    int tmp = 0;
    for (int j = 0; j < (int)v.size(); j++)
      tmp = (tmp + (long long)a[i - j - 1] * v[j]) % p;

    if (a[i] == tmp) continue;

    if (k < 0) {
      k = i;
      delta = (a[i] - tmp + p) % p;
      v = vector<int>(i + 1);

      continue;
    }

    vector<int> u = v;
    int val = (long long)(a[i] - tmp + p) * power(delta, p - 2) % p;

    if (v.size() < last.size() + i - k) v.resize(last.size() + i - k);

    (v[i - k - 1] += val) %= p;

    for (int j = 0; j < (int)last.size(); j++) {
      v[i - k + j] = (v[i - k + j] - (long long)val * last[j]) % p;
      if (v[i - k + j] < 0) v[i - k + j] += p;
    }

    if ((int)u.size() - i < (int)last.size() - k) {
      last = u;
      k = i;
      delta = a[i] - tmp;
      if (delta < 0) delta += p;
    }
  }

  for (auto &x : v) x = (p - x) % p;
  v.insert(v.begin(), 1);

  return v;  // $\forall i, \sum_{j = 0} ^ m a_{i - j} v_j = 0$
}

朴素的 Berlekamp-Massey 算法求解的是有限项数列的最短递推式。如果待求递推式的序列有无限项,但已知最短递推式的阶数上界,则只需取出序列的前 项即可求出整个序列的最短递推式。(证明略)

应用

由于 Berlekamp-Massey 算法的数值稳定性比较差,在处理实数问题时一般很少使用。为了叙述方便,以下均假定在某个质数 的剩余系下进行运算。

求向量列或矩阵列的最短递推式

如果要求向量列 的最短递推式,设向量的维数为 ,我们可以随机一个 维行向量 ,并计算标量序列 的最短递推式。由 Schwartz-Zippel 引理,二者的最短递推式有至少 的概率相同。

求矩阵列 的最短递推式也是类似的,设矩阵的大小为 ,则只需随机一个 的行向量 和一个 的列向量 ,并计算标量序列 的最短递推式即可。由 Schwartz-Zippel 引理可以类似地得到二者相同的概率至少为

优化矩阵快速幂

是一个 维列向量,并且转移满足 ,则可以发现 是一个不超过 阶的线性递推向量列。(证明略)

我们可以直接暴力求出 ,然后用前面提到的做法求出 的最短递推式,再调用 常系数齐次线性递推 即可。

如果要求的向量是 ,则算法的复杂度是 。如果 是一个只有 个非零项的稀疏矩阵,则复杂度可以降为 。但由于算法至少需要 的时间预处理,因此在压力不大的情况下也可以使用 的线性递推算法,复杂度同样是可以接受的。

求矩阵的最小多项式

方阵 的最小多项式是次数最小的并且满足 的多项式

实际上最小多项式就是 的最小递推式,所以直接调用 Berlekamp-Massey 算法就可以了。如果 是一个 阶方阵,则显然最小多项式的次数不超过

瓶颈在于求出 ,因为如果直接每次做矩阵乘法的话复杂度会达到 。但考虑到求矩阵列的最短递推式时实际上求的是 的最短递推式,因此我们只要求出 就行了。

假设 个非零项,则复杂度为

求稀疏矩阵行列式

如果能求出方阵 的特征多项式,则常数项乘上 就是行列式。但是最小多项式不一定就是特征多项式。

实际上如果把 乘上一个随机对角阵 ,则 的最小多项式有至少 的概率就是特征多项式。最后再除掉 就行了。

阶方阵,且有 个非零项,则复杂度为

求稀疏矩阵的秩

是一个 的矩阵,首先随机一个 的对角阵 和一个 的对角阵 , 然后计算 的最小多项式即可。

实际上不用调用矩阵乘法,因为求最小多项式时要用 乘一个向量,所以我们依次把这几个矩阵乘到向量里就行了。答案就是最小多项式除掉所有 因子后剩下的次数。

个非零项,且 ,则复杂度为

解稀疏方程组

问题:已知 , 其中 是一个 满秩 稀疏矩阵, 的列向量。 已知,需要在低于 的复杂度内解出

做法:显然 。如果我们能求出 () 的最小递推式 (), 那么就有结论

(证明略)

因为 是稀疏矩阵,直接按定义递推出 即可。

同样地,设 中有 个非零项,则复杂度为

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vector<int> solve_sparse_equations(const vector<tuple<int, int, int> > &A,
                                   const vector<int> &b) {
  int n = (int)b.size();  // 0-based

  vector<vector<int> > f({b});

  for (int i = 1; i < 2 * n; i++) {
    vector<int> v(n);
    auto &u = f.back();

    for (auto [x, y, z] : A)  // [x, y, value]
      v[x] = (v[x] + (long long)u[y] * z) % p;

    f.push_back(v);
  }

  vector<int> w(n);
  mt19937 gen;
  for (auto &x : w) x = uniform_int_distribution<int>(1, p - 1)(gen);

  vector<int> a(2 * n);
  for (int i = 0; i < 2 * n; i++)
    for (int j = 0; j < n; j++) a[i] = (a[i] + (long long)f[i][j] * w[j]) % p;

  auto c = berlekamp_massey(a);
  int m = (int)c.size();

  vector<int> ans(n);

  for (int i = 0; i < m - 1; i++)
    for (int j = 0; j < n; j++)
      ans[j] = (ans[j] + (long long)c[m - 2 - i] * f[i][j]) % p;

  int inv = power(p - c[m - 1], p - 2);

  for (int i = 0; i < n; i++) ans[i] = (long long)ans[i] * inv % p;

  return ans;
}

例题

  1. LibreOJ #163. 高斯消元 2
  2. ICPC2021 台北 Gym103443E. Composition with Large Red Plane, Yellow, Black, Gray, and Blue